Funkcja kwadratowa
Wyróżnikiem (deltą) \( \Delta \) trójmianu kwadratowego \( ax^2+bx+c \; (a\neq 0,b,c \in \mathbb{R}) \) zmiennej rzeczywistej \( x \) nazywamy liczbę:
\begin{equation*} \Delta = b^2 -4ac \end{equation*}Postać ogólna funkcji kwadratowej:
\begin{equation*} f(x) = ax^2+bx+c,\;\;\; a \neq 0,\;\; b,c \in \mathbb{R},\; x \in \mathbb{R} \end{equation*}Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku \( W \) w punkcie:
\begin{equation*} W = (p,q) \;\;\; gdzie\;\;\; p=-\frac{b}{2a}, \;\;\; q=-\frac{\Delta}{4a} \end{equation*}Gdy \( a<0 \), to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi. Gdy \( a>0 \), to ramiona paraboli skierowane są ku górze.
\( \\ \) \begin{equation*} a<0, \;\;\;\;\;\;\; y=ax^2 \end{equation*}
\begin{equation*}
a>0, \;\;\;\;\;\;\; y=ax^2
\end{equation*}
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej \( f(x)=ax^2+bx+c \\ \) (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego \(ax^2+bx+c=0\)) zależy od wyróżnika \( \Delta \):
\( \\ \)- 1. Jeżeli \( \Delta>0 \), to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): \begin{equation*} x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \;\;\;\;\;\;\;\;\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{equation*}
- 2. Jeżeli \( \Delta=0 \), to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): \begin{equation*} x_1=x_2=\frac{-b}{2a} \end{equation*}
- 3. Jeżeli \( \Delta<0 \), to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
\begin{equation*} f(x) = a(x-p)^2+q \end{equation*} \( \\ \)Jeżeli \( \Delta >0 \), to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:
\begin{equation*} f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \end{equation*} \( \\ \)Wzory Viète’a
\begin{equation*} x_1+x_2=-\frac{b}{a} \;\;\;\;\;\;\;\;\; x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a} \end{equation*}